Bert hamminga Back to: Index: Teaching Docs; hamminga, B. (1997), Informatie, Waarheid en Werkelijkheid,inhoudsopgave Go to: Previous Section; Next Section

Page title:  4. Een formele taal voor de propositielogica

We gaan nu een kunsttaal maken, waarmee we het redeneren van mensen met behulp van "en", "of", "niet", "als ... dan ..." kunnen bestuderen. Om het minder plechtig te zeggen: we gaan wat tekens en letters invoeren en dan gaan we afspreken wat we ermee zullen bedoelen. Hier is het begin:

Tabel 4.1.

Door propositionele operaties samengestelde atomaire proposities zijn aan elkaar gebonden door middel van propositionele voegwoorden. Daarom noemen we de tekens logische voegtekens.

Noem ik de atomaire zinnen 3.1. t/m 3.5: P₁, P₂, P₃, P₄, P₅, dan kan ik de samengestelde zinnen 3.10., 3.11., 3.12. en 3.13. als volgt opschrijven (ga dit zelf na):

3.10. P₁ & P₂

3.11. P₄ V P₅

3.12. (�P₅) V (�P₃)

3.13. (�P₁) V P₅

We hadden de zinnen 3.10. t/m 3.13. ook bijv. in het Gronings kunnen vertalen. In plaats van Gronings hebben we de formele taal van de propositielogica gekozen. Logici vinden dat prettig, een taal voor zichzelf: dan kun je alles afspreken wat je wilt en hoef je met niemand rekening te houden. De formele taal van de propositielogica is een taal waarin je proposities uit een natuurlijke taal (bijv. de proposities 3.1. t/m 3.5. en 3.10. t/m 3.13). kunt weergeven. Atomaire proposities worden weergegeven met atomaire formules (P₁, P₂, ...). Dat kan alleen als er in zo'n natuurlijke taal atomaire proposities zitten die we met atomaire formules kunnen aanduiden: P₁, P₂, P₃, ... Samenstellingen van deze atomaire formules moeten dan samengestelde volzinnen voorstellen die in de natuurlijke taal voorkomen. Voldoet een natuurlijke taal niet aan deze eisen, dan hoeft er heus niets "verkeerd" te zijn met die taal. Zo'n taal kan alleen niet worden bestudeerd met behulp van de formele taal van de propositielogica.

Voor de propositielogica hoef je niet te weten wat een volzin betekent.

Dit moet je kunnen:

1) Als je een rij woorden ziet (of klanken hoort) moet je kunnen zien (horen) of het een volzin is of niet.

2) Je moet de volzin kunnen ontleden in atomaire volzinnen (waartussen, en waaromheen propositionele voegwoorden staan).

3) Hoewel de betekenis er niet toe doet: als je twee keer dezelfde atomaire volzin in een volzin tegenkomt moet je weten dat je die al eens een keer hebt gehad, en je moet hem een P_i met hetzelfde getal i geven.

De meesten van jullie kunnen dit bij het Nederlands, enkele andere Europese talen, de wiskunde, en Java. De meesten van jullie kunnen dit niet bij het Chinees, en bij PASCAL. Als je bovenstaande drie dingen kunt, hoef je overigens nog helemaal niet te begrijpen wat er wordt gezegd!

De formele taal van de propositielogica ziet er zo uit:

Alfabet: P₁, P₂, P₃, ... atomaire formules

�, �, w, &, � (propositionele) voegtekens

( , ) hulpsymbolen

Formules: i) Elke atomaire formule is een formule

ii) Als A en B beide een formule zijn (dus ofwel een atomaire formule ofwel een samengestelde formule), dan zijn (A �B), (A � B), (A & B) en (A V B) (samengestelde) formules.

iii) Als A een formule is, dan is (�A) een (samengestelde) formule

Dat is dus de formele taal van de propositielogica. We gaan ook een rangorde in de voegtekens aanbrengen om de hoeveelheid haakjes in onze formules drastisch te beperken. Deze rangorde is (van hoog naar laag): �, &, V, �, �. Het teken met de hoogste rang heeft de eerste prioriteit. "�A V B" betekent dus "(�A) V B". Wie �(A V B) wil beweren, moet zijn haakjes laten staan. Voor de duidelijkheid nog een paar voorbeelden:

Haakjes weglaten gaat dus op dezelfde manier als in de algebra: "a + (b(c²))" mag als a + bc² geschreven worden, en moet onderscheiden worden van bijv. (a + b)c². (De haakjes om de gehele formule mogen we altijd weglaten.)

Go to: Previous Section; Next Section