23 Voorbeelden van Modellen

Bert hamminga Back to: Index: Teaching Docs hamminga, B. (1997) Informatie, Waarheid en Werkelijkheid,inhoudsopgave Go to: Previous Section; Next Section

Page title: 23. Voorbeelden van modellen: wiskunde, economische statistiek en economische theorie, JAVA

Bij de behandeling van de modellen kijken wij steeds terug naar de meest voluit geschreven versie van M_k(x₁, x₂, ..., x_n), dat is in ' 22.9##.

De vragen die we telkens stellen zijn:

1) n = ? (Het aantal dingen in S = {x₁, x₂, ..., x_n})

2) U_x1=?, U_x2=?, ..., U_xn=?

3) U_{(x1,x2,...,,xn}

4) m = ? (Het aantal elementen in U_{(x1,x2,...,,xn})

5) k = ? (Het aantal relaties S(x₁, s₂,....x_n))

6) m₁ = ?, m₂ = ?, ..., m_k = ? (het aantal geordende n-tallen (x₁, x₂, ..., x_n) in elke relatie)

Voorbeeld 1: Wiskunde, het rooster van ' 22 (omschreven 22.1. t/m 22.8. en Fig. 22.1.).

1) n = 2, immers S_i := (x, y)

2) U_x = T, U_y = T

3) U_{(x, y)} := U_x x U_y = T x T

4) m = 100, immers U_{(x, y)} := S₁, S₂, ..., S₁₀₀. 100 is het aantal dingen in T vermenigvuldigd met nog eens het aantal dingen in T.

5) k = 3, immers we hebben S₁, S₂ en S₃

6) m₁ = 10, m₂ = 6, m₃ = 10 (k = 3 dus we hebben nu alle m_i's).

Voorbeeld 2: Economische datasets OBS

	Jaar Nationaal Inkomen	Binnenlands product (bruto, marktprijzen)	Consumptie mln. gld.
S₁	1993	582	563
S₂	1994	614	599
S₃	1995	638	620
S₄	1996	668	654
S₅	1997	700	680
S	(x₁	x₂	x₃)

1) n = 3 (we hebben nl. geordende 3-tallen (x₁, x₂, x₃))

2) U_x1 = Z < 1 ; jaar ; jaartal >

U_x2 = �⁺ < 2 ; mrd.gld./jaar ; Y >

U_x2 = �⁺ < 2 ; mrd.gld./jaar ; C >

Toelichting: Bij wijze van toegift vermeld ik tussen de haken "< ; ;>" wat Z, �⁺ en �⁺ in dit model voorstellen.

Eerst vermeld ik het aantal dimensies, dan zeg ik welke dimensies het

precies zijn, en tenslotte zeg ik wat ik in deze dimensies wil meten. Bij Z wil ik deze keer jaren meten. Omdat x₁ altijd een of ander jaar j is, definieer ik: j := x₁. De �⁺ van U_x1 moet mrd. gld./jaar voorstellen (dat zijn dus twee dimensies: guldens en jaren), en wel het aantal mrd. gld. dat het nivo van het netto nationaal product tegen marktprijzen telt. Analoog van C: de consumptie.

3) m = � (oneindig), immers U_j = Z heeft oneindig veel dingen, U_y = �⁺ heeft oneindig veel dingen, U_C = �⁺ heeft oneindig veel dingen. Strikt genomen is m: het aantal elementen in Z vermenigvuldigd met het aantal elementen in �⁺ en dat n�g eens maal het aantal elementen in �⁺.

4) k = 1, we hebben slechts 1 relatie S₁(x₁, x₂, x₃), het is een zgn. data set van gemeten waarden, om dat beter te onthouden dopen we S₁(x₁, x₂, x₃) om tot OBS(x₁, x₂, x₃) (van "observatie")

5) m₁ = 5 (in deze ene relatie zitten vijf geordende drie-tallen).

Samengevat:

M_k (x₁, x₂, ..., x_n) = M₁ (j, Y, C) = (Z x�⁺ x �⁺, {S₁{j, Y, C})

waarin OBS{j, Y, C} := {S₁, S₂, S₃, S₄, S₅)

Voorbeeld 3: Macro-economische consumptiefunctie

We beschouwen de Keynesiaanse consumptiefunctie C = a₁ Y + a₂ , waarin C de consumptie voorstelt, Y het nationaal inkomen, a₁ de marginale consumptiequote en a₂ de autonome consumptie. Het gespreksonderwerp bestaat uit vier variabelen Y��⁺, C��⁺, a₁��, en a₂��. Voor wie verder niets van Keynesiaanse modellen weet, staat hier een relatie die plechtig opgeschreven wordt als CONS (de 2 onderscheidt hem van de S₁ van het vorige voorbeeld).

LINCONS (Y, C, a₁, a₂) := {(Y, C, a₁, a₂) | C = a₁Y + a₂} Image134.gif (3692 bytes)

We laten ons vragenlijstje los op het model dat LINCONS(Y, C, a₁, a₂) als enig relatie bevat.

1) n = 4 (nl. Y, C, a₁ en a₂)

2) U_x1 = �⁺ < 2 ; mln.gld./jaar ; Y >

U_x2 = �⁺ < 2 ; mln.gld./jaar ; C >

U_x3 = � < 0; ; a₁>

U_x4 = � <2 ; mln.gld./jaar ; ; a₂>

Toelichting: als je weet dat x₁ voorstelt Y, dan kun je in een economieboek opzoeken hoeveel en welke dimensies Y heeft. Wij zouden voor een college wetenschapstheorie vraag twee dus kort kunnen beantwoorden:

U_Y wordt voorgesteld door �⁺

U_C wordt voorgesteld door �⁺

Ua₁ wordt voorgesteld door �.

Ua₂ wordt voorgesteld door �.

3) U_{(Y, C, a1, a2)} wordt voorgesteld door �⁺ x �⁺ x � x �.

4) m = �

5) k = 1 (er is maar ��n relatie, nl. LINCONS(Y, C, a₁, a₂).

) m₂ = �

Voorbeeld 4: Aanvoer en prijsindexcijfers van vis (Stat. Zakb. 1983, p. 157)

	Jaar:	Prijsindexcijfer 1975 = 100	Aanvoer mln. kg.:
S₁	1977	119	252,5
S₂	1978	118	309,9
S₃	1979	129	295,0
S₄	1980	131	305,5
S₅	1981	135	401,4
OBS	x₁	x₂	x₃

1) n = 3

2) U_x1 = Z < 1 ; jaren ; jaartal >, dus U_j wordt voorgesteld door Z.

U_x2 = �⁺ < 2 ; guldens/eenheid ; p >, dus U_p wordt voorgesteld door �⁺.

U_x3 = �⁺ < 2 , mln.kg./jaar ; x >, dus U_x wordt voorgesteld door �⁺.

Toelichting: we spreken namelijk af: p := prijsindexcijfer vis (1975 = 100), en x := aanvoer van vis in miljoenen kg./jaar.

3) U_(j,p,x) wordt voorgesteld door Z x �⁺ x �⁺.

4) m = �

5) k = 1

6) m₁ = 5

De tabel, in grafiek gebracht (figuur 23.2.); geeft helaas een minder duidelijk beeld dan die van voorbeeld 3 in fig. 23.1. Zo op het oog loopt er geen van de bekende wiskundige relaties (bijvoorbeeld lineair, exponentieel, logarithmisch) in de buurt van de geobserveerde punten uit de verzameling OBS

Image138.gif (2357 bytes)

Voorbeeld 5: Micro-economie: vraag en aanbodschalen.

We noemen de vraagrelatie D (demand) en de aanbodrelatie S (supply). Ze worden vaak ongeveer zo in een grafiek gezet.

Image140.gif (3120 bytes)

We nemen het speciale geval van relaties waarin (a₁₁, a₁₂, a₂₁, a₂₂) = (-2, 600, 2, 100). Plechtig opgeschreven zijn onze relaties dan:

D(p, x) = {(p, x) | x = - 2 . p + 600}

S (p, x) = {(p, x) | x = 2 . p + 100}

Het vragenlijstje losgelaten op het model dat de relaties S en D bevat:

1) n = 2

2) U_p = �⁺, dus U_P wordt voorgesteld door �⁺ (zie vb. 4)

U_x = �⁺, dus U_x wordt voorgesteld door �⁺ (zie vb. 4)

3) U_(p,x) wordt voorgesteld door �⁺ x �⁺

4) m = �

5) k = 2

6) m₁ = m₂ = �

DEFINITIE 23.1.: De evenwichtsverzameling E (de prijs waarbij vraag en aanbod gelijk zijn) van een markt is S (p, x) � D (p, x)

In ons voorbeeld heeft E slechts ��n element, op te lossen uit:

x = - 2 p + 600

x = 2 p + 100

Dit levert: (p, x) = (125, 350)

Zou dit een goed model van de vismarkt van voorbeeld 4 kunnen zijn waarvan in het statistisch zakboek de cijfers over aanvoer en prijsindexcijfers van vis zijn opgenomen?

In inleidingen tot de microeconomie worden evenwichtsmodellen behandeld. Die beschrijven de situatie van evenwicht. Wanneer is er in het echt "evenwicht"? Daar wordt vaak niet veel over gezegd. Het idee is gewoonlijk dat, net als een schommel, een markt geleidelijk "stil gaat hangen" als er niets en niemand "aan komt", d.w.z. als er geen exogene schokken zijn. Het zou dus heel goed kunnen zijn dat S (p, x) � D (p, x) het evenwicht is van de vismarkt van voorbeeld 4. Voorlopig is er geen enkele aanwijzing dat dat niet zo is, en geen enkele aanwijzing dat dat wel zo is. We weten dus over deze vismarkt nog niets, en het marktmodel van dit voorbeeld is onvoldoende om meer te weten te komen. Meer over dit probleem in par 25..

Voorbeeld 6: Visueel programmeren

In bijvoorbeeld een JAVA cursus wordt visueel programmeren vaak als volgt voorgesteld:

Image89.gif (80188 bytes)

Het onderwerp (universum) is een cartesisch product OSIxPCSxSR, bestaande uit:

1. Alle mogelijke ontwerpscherminvullingen osi � OSI
2. Alle mogelijke programmacodesequenties pcs � PCS
3. Alle mogelijke schermresultaten sr � SR

Tussen die drie is een vertaalrelatie V, V � OSIxPCSxSR.

De omvang van het universum OSIxPCSxSR wordt bepaald door het toetsenbord van de PC en de verbinding daarvan met het programma.

Makers van bijvoorbeeld JAVA streven naar de volgende vertaalrelatie:

V � OSIxPCSxSR moet zodanig zijn dat

"osi $ pcs $ sr ((osi,pcs,sr) � V) (elke ontwerpscherm invulling kan in een programmacode sequentie worden omgezet en die in alle gevallen weer in een schermresultaat; m.a.w. geen no show bugs).

De enkele pijlen naar rechts in het schema wijzen erop dat er van functie sprake is, dus iets links van de pijl correspondeert nooit met twee dingen rechts van de pijl. Hoe zeggen we dat precies?

"osi [ $ pcs $ pcs' $ sr $ sr' ( {(osi,pcs,sr),(osi,pcs',sr')} � V)) � (pcs = pcs') & (sr = sr') ]

Oefening: Is het voor een programma erg als twee ontwerpscherminvullingen tot hetzelfde schermresultaat leiden? Is dat met de conditie hierboven uitgesloten?

Oefening: Is het voor een programma erg als twee programmercode sequenties tot hetzelfde schermresultaat leiden? Is dat met de conditie hierboven uitgesloten?

Tenslotte: gelukkig kan een programma al in gebruik worden genomen ver voordat redelijk zeker is dat aan bovenstaande randvoorwaarden is voldaan. Maar gebruikers die een overtreding tegenkomen balen.

to: Previous Section; Next Section