Bert hamminga Back to: Index: Teaching Docs hamminga, B. (1997) Informatie, Waarheid en Werkelijkheid,inhoudsopgave Go to: Previous Section; Next Section
Page title: 16. Correcte en incorrecte redeneringen
Als je een aantal mensen een of andere redenering geeft en dan vraagt: "is deze redenering correct?", dan zullen er een paar "ja" zeggen, een stel anderen "nee", en weer een stel anderen "ik weet het niet". Als ze een bepaalde redenering toevallig allemaal correct vinden, is hij dan correct? Dat is dan nog niet bewezen natuurlijk. Hoe, dan, bewijs je dat een redenering correct is?
Je zult eerst voor het woord "correct" een precieze betekenis moeten afspreken zodat je volgens duidelijke regels, die je afspreekt, kunt gaan controleren of een redenering correct is. Dat is helaas wel een beetje bureaucratisch, maar logici zijn, net als bureaucraten, bemoeizuchtig.
Er is een heel eenvoudige correctheidsbegrip, dat heet "propositielogisch semantisch correct", waar je toch al iets mee kunt:
DEFINITIE 16.1. Als A1, A2, ..., Am, B volzinnen van de propositielogica zijn, dan heet de redenering (afleiding)
A1,A2,...,Am___________
B
propositielogisch semantisch correct dan en slechts dan als A1, A2, ..., Am l= B
Voorbeeld: De redenering van econoom 1 uit ' 1 is propositielogisch semantisch correct omdat P, P
� Q, Q � R, R � S l= S (oefening: zelf uitrekenen)In par. 1 hadden we slechts ��n afleidingsregel, de modus ponens:
A�B A_________
B
En die is, blijkt nu, propositielogisch semantisch correct omdat A
� B, A l= B (oefening: zelf uitrekenen)Nu hebben we echter meteen een hele hoop afleidingen die propositielogisch semantisch correct zijn, namelijk alle geldige schema's (zie par. 13 voor een lijstje met belangrijke voorbeelden van geldige schema's)!
Nu is de beer echt los, want het is niet moeilijk te bewijzen dat
THEOREMA 16.1. Als A l= B en B l= C dan A l= C
Bewijs: Als A l= B en B l= C dan l= A
� B en l= B � C (theorema 15.2.). De conclusie zou moeten zijn: A l= C en dat is hetzelfde als l= A � C. Dus we moeten bewijzen: Als l= A � B en l= B � C dan l= A � C| A | B | C | A �B | B � C | A �C | |
| I | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| II | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| III | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| IV | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| V | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| VI | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| VII | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| VIII | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
Tabel 16.1.
Als l= A
� B dan moeten A en B formules zijn waarbij geval III en IV ondenkbaar zijn. Neem maar eens A = P & Q en B = P, dan zitten deze gevallen van de waarheidstafel van A, B en C gewoon niet in de propositielogische ruimte van P en Q:| A := | A � B: = | |||
| P | Q | P & Q | P & Q � P | |
| I | 1 | 1 | 1 | 1 |
| II | 1 | 0 | 0 | 1 |
| III | 0 | 1 | 0 | 1 |
| IV | 0 | 0 | 0 | 1 |
Tabel 16.2.
Maar geval III en IV van de bovenste waarheidstafel zijn ook ondenkbaar als je in A
� B neemt: A = P � Q en B = �P V Q. Ook bij A = P & Q en B = P V Q, enz. en over zulke invullingen kan het alleen maar gaan als A l= B en dus l= A � B. Zo zijn geval II en VI van de bovenste waarheidstafel ondenkbaar voor alle formules waarvoor geldt dat B l= C (en dus l= B � C). Als A l= B en B l= C, dan zijn dus geval II, III, IV, en VI ondenkbaar. Om te weten of A l= C, en dus l= A � C, is het voldoende om te weten dat II en IV ondenkbaar zijn, en dat is dus zo.THEOREMA 16.2. geeft ons toestemming om hele ketens van afleidingen te maken met geldige schema's:
A l= B
B l= C
C l= D
D l= E
E l= F
A l= F
en het lijkt er haast op dat je nooit meer echt een waarheidstafel hoeft uit te rekenen.
De verleiding is natuurlijk groot om na te gaan of er ook een minimum aantal schema's is waar je alle semantisch correcte redeneringen mee kunt uitvoeren. Dan zou je zelfs helemaal nooit meer naar waarheidstafels hoeven te kijken, terwijl je toch zeker weet dat je je keurig aan de regels van de logische semantiek houdt.
Nou, dat blijkt in de propositielogica te kunnen, zelfs op vele manieren. Wie zich daar in verdiept wordt een echte logicus. De tak van denksport die zich hier mee bezighoudt heet syntaxis.
Go to: Previous Section; Next Section