Bert hamminga Back to: Index: Teaching Docs hamminga, B. (1997) Informatie, Waarheid en Werkelijkheid,inhoudsopgave Go to: Previous Section; Next Section
Page title: 15. Logisch sterkte, geldig gevolg en implicatie
Nu blijkt dat als A sterker is dan B, dat dan A l= B. Dus een formule B volgt uit elke A die sterker is dan B. Een voorbeeld waarin dat opgaat is: neem P & Q voor A, en P V Q voor B. Dan is het zo:
P & Q l= P V Q
I(P & Q)
� I (P V Q) (S � T betekent: als iets in T zit dan zit het zeker is S)Immers: als P & Q een 1 in de waarheidstafel heeft, heeft P V Q in diezelfde rij ��k een 1. Dus A l= B. En I(P & Q) = {II, III, IV} en I(P V Q) = {IV}. Dus A is sterker dan B. Het lijkt er op dat I(P & Q)
� I(P V Q) precies hetzelfde zegt als P & Q l= P V Q, alleen I(P & Q) g I(P V Q) zegt het met nullen en P & Q l= P V Q zegt het met �nen. Zoiets willen we natuurlijk bewijzen.Wat willen we bewijzen? Dit: als A l= B, dan is A minstens even sterk als B, en als A minstens even sterk is als B, dan A l= B. Nog mooier gezegd:
THEOREMA 15.1. A l= B dan en slechts dan als A minstens even sterk is als B.
BEWIJS: (1) Stel A l= B. Dan heeft de waarheidskolom van B een 1 in elk geval waarin de waarheidskolom van A een 1 heeft. B kan dus all��n nullen hebben in rijen waarin A ��k een nul heeft. Op zijn hoogst heeft B dus precies overal een 0 waar A een 0 heeft, met andere woorden I(A) = I(B). Heeft B zelfs soms een 1 op sommige plaatsen waar A een 0 heeft, dan is I(B) nog kleiner, dus I(A) e I(B). We kunnen dus in ieder geval zeggen I(A)
� I(B), met andere woorden A is minstens even sterk als B.(2) Stel I(A)
� I(B). Dus overal waar B een 0 heeft, heeft A ook een 0 (en A kan eventueel nog extra nullen hebben). Als A dan een 1 heeft kan B nooit een 0 hebben, want de nullen van B zijn al opgebruikt in de rijen waar A een 0 heeft. Dus A l= B.Zo zit dat dus. Om er een beetje aan te wennen zeggen we het nog eens met andere woorden. Als A sterker is dan B, dan is de informatie die B bevat een onderdeel van de informatie die A bevat. De inhoud van A omvat de inhoud van B. Daarom volgt B uit A. De zwakste A waar een B nog net uit volgt is een A die even sterk is als B.
Nog zoiets: het blijkt dat het volgende theorema bewezen kan worden:
THEOREMA 15.2. A l= B dan en slechts dan als l= A
� B.BEWIJS: (1) Stel A l= B. Dat betekent dat er geen rijen in de tabel zijn waar de waarheidskolom van A een 1 heeft en die van B een 0. Als ik achter de waarheidskolom van A en B de kolom van A
� B construeer volgens de logische semantiek van "�", dan kom ik dus niet ��n geval tegen waarin A een 1 heeft en B een 0. Dat is net het enige geval waarin ik voor A � B een 0 had moeten schrijven. Dus krijg ik in de waarheidskolom van A � B louter enen. Dus l= A � B.(2) Stel l= A
� B. Ik heb dus in de waarheidskolom van A � B louter enen. Dus is er geen enkele rij waarvoor de waarheidskolom van A een 1 heeft en die voor B een 0. Dus heeft, in geval A een 1 heeft, B altijd ��k een 1. Dus A l= B.Ook het spraakgebruik met betrekking tot "noodzakelijke" en "voldoende" voorwaarden kan met "A l= B" worden ge�llustreerd.
DEFINITIE 15.1. Als A l= B dan noemen we A ook wel een "voldoende voorwaarde" voor B.
Dat is wel begrijpelijk spraakgebruik: voor wie wil weten dat B waar is, is het voldoende om te weten dat A waar is.
DEFINITIE 15.2. Als A l= B, dan noemen we B ook wel een "noodzakelijke voorwaarde" voor A.
Dat ziet er zo op het eerste gezicht gek uit. "Noodzakelijk" betekent immers zoiets als "het kan niet zonder". Kan A echt niet zonder B als A l= B? Inderdaad! En dat gaan we nog bewijzen ook. W�t gaan we bewijzen? Dit:
THEOREMA 15.3. A l= B dan en slechts dan als �B l= �A.
BEWIJS: (1) Stel A l= B. Overal waar A een 1 heeft, heeft B een 1. Dus als B een 0 heeft, kan A nooit een 1 hebben. Dus als B een 0 heeft, heeft A een 0. Dat is hetzelfde als te zeggen: als �B een 1 heeft, heeft �A een 1. Dus �B l= �A. Dan analoog A l= B (doe dit zelf).
Go to: Previous Section; Next Section