Bert hamminga Back to: Index: Teaching Docs hamminga, B. (1997) Informatie, Waarheid en Werkelijkheid,inhoudsopgave Go to: Previous Section; Next Section

Page title: 14. Hypothesen en wat uit hypothesen volgt

Als een formule B nullen en enen in zijn waarheidskolom heeft (uitgaande van de waarheidstafel van de atomaire formules waaruit hij bestaat), dan noemen we de formule B contingent. Een volzin B kan dan niet-propostielogisch waar zijn, maar hij kan ook niet-propositielogisch onwaar zijn. Daarover is met behulp van propositielogica niets meer te zeggen (zie par. 11). De propositielogica jaagt niet alleen meedogenloos op geldige en inconsistente formules. Ook de contingente formules laat zij niet met rust. Wat kan de propositielogica dan nog over contingente formules als B bewijzen?

Nou dit: dat de contingente formule B een geldig gevolg is van een of andere contingente formule A, of dat B een geldig gevolg is van een serie contingente uitspraken A1, ..., An.

We gaan nu precies uitleggen wat in de propositielogica wordt bedoeld met een geldig gevolg zijn van, dus met uitspraken als "A is een geldig gevolg van B".

Eerst een voorbeeld. Neem voor A eens: (P � Q) & (P V R) (kolom (6)).

           

(A)

(B)

(C)
 

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

Geval nr.

P

Q

R

P �Q

P V R

(P�Q) & (P V R)

Q V R

P�R

I

1

1

1

1

1

1

1

1

II

1

1

0

1

1

1

1

0

III

1

0

1

0

1

0

1

1

IV

1

0

0

0

1

0

0

0

V

0

1

1

1

1

1

1

1

VI

0

1

0

1

0

0

1

1

VII

0

0

1

1

1

1

1

1

VIII

0

0

0

1

0

0

0

1

                                                                        Tabel 14.1.

Er zijn 8 denkbare gevallen, want we moeten uitgaan van de waarheidstafel van P, Q en R, die bestaat uit de eerste drie kolommen. De uitgerekende formules zijn allemaal contingent: alleen als iemand ons komt vertellen welke volzinnen voor P, Q en R worden ingevuld en we hebben toevallig de informatie over hun waarheid, dan kunnen we in de tabel "opzoeken" welke van de vijf uitgerekende uitspraken waar zijn en welke onwaar. We zitten dan immers op ��n bepaalde regel, en de andere regels zouden we dan niet nodig hebben.

Stel nu dat iemand ons komt vertellen dat het gaat over een volzin (P � Q) & (P V R) die waar is. Het is heel goed denkbaar dat dat niet zo is: dan is ��n der gevallen III, IV, VI en VIII actueel.

Maar ons wordt gewoon verteld dat (P � Q) & (P V R) waar is. Wij mogen dat dus aannemen.

Dat betekent dat we niet meer alle gevallen hoeven te bekijken. Alleen de gevallen I, II, V en VII voldoen aan wat ons is medegedeeld. Daarom zijn ze groen in de tabel. De rest van de tabel is niet meer relevant.Nu zijn er contingente formules die de nullen in hun waarheidskolom niet in gevallen I, II, V en VII hadden. Dat zijn, zullen we gaan zeggen, "geldige gevolgen" van de formule (P � Q) & (P V R). Zonder ook maar te weten over welke volzin (P V R) gaat, kunnen we beredeneren: als (P � Q) & (P V R) waar is, dan is Q V R ook waar. Dat weten we zelfs zeker! Want we weten zeker dat Q V R louter enen heeft in de gevallen waarin (P � Q) & (P V R) een 1 heeft. Er is geen enkel geval denkbaar waarin de volzin Q V R onwaar is en (P � Q) & (P V R) w��r. Dat heb ik met bovenstaande waarheidstafel bewezen. Ik hoef alleen maar te veronderstellen dat iemand ons komt vertellen dat (P � Q) & (P V R) waar is. Hij hoeft heus niet echt te komen. Ik heb het puur met mijn hoofd gedaan en het opgeschreven. Jij hoeft het alleen maar te begrijpen om zeker te weten dat het zo is. We doen alles puur met ons hoofd en wat papier.

De vooronderstelling (P � Q) & (P V R) is echter onvoldoende om zeker te weten dat P � R waar of niet waar is: Immers als geval I zich voordoet heeft P � R een 1 in zijn waarheidskolom en is dus waar en als geval II zich voordoet heeft P � R een 0 in zijn waarheidskolom en is dus onwaar (zie tabel 14.1.).

Daarmee is de bedoeling van de volgende definities duidelijk:

DEFINITIE 14.1. Als we twee formules A en B hebben waarin louter de atomaire formules P1, ..., Pn voorkomen, dan zeggen we "B is een geldig gevolg van A", als uitgaande van de waarheidstafel van P1, ..., Pn de waarheidskolom van B nergens een 0 heeft waar de waarheidskolom van A een 1 heeft. Notatie: "A l= B".

In de uitspraak "A l= B" noemen we A een hypotheseschema en B een conclusieschema. Wat we dus doen is die gevallen (rijen in de tabel) buiten beschouwing laten waarin de waarheidskolom A een nul heeft. We hoeven het dus niet bij ��n zo'n A te laten. We kunnen ook tabellen bekijken waarin alle rijen zijn "doorgestreept" die bij de waarheidskolom van A1, of A2 �f ... etc. een nul hebben. Er komen dan steeds meer doorgestreepte rijen:

DEFINITIE 14.2. Als we een serie formules A1, ..., Am, B hebben waarin louter de atomaire formules P1, ..., Pn voorkomen, dan zeggen we "B is een geldig gevolg van A1, ...., Am", als, uitgaande van de waarheidstafel van P1, ..., Pn de waarheidskolom van B nergens een 0 heeft op een rij waarin de waarheidskolommen van A1, ..., Am allemaal tegelijk een 1 hebben. Notatie: "A1, ..., Am l= B". Ook hier noemen we A1, ..., Am: hypotheseschema's. Een voorbeeld van een toepassing van definitie 14.2: Toen we voor A namen: (P � Q) & (P V R) en zochten voor welke B nu geldt dat A l= B, toen bleek Q V R zo'n B te zijn, P � R niet. We kunnen er nu een extra hypotheseschema C bij zoeken zodat

(P � Q ) & (P V R), C l= P � R

Dus dat P � R toch een geldig gevolg wordt. Dat moet dan een C zijn die in geval II een 0 heeft, want die rij willen we nog wegstrepen. Dat is bijvoorbeeld zo als je voor C neemt: R. Dus:

(P � Q) & (P V R), R l= P � R

Van hypotheseschema's en conclusieschema's kun je hypothesen en conclusies maken door voor de betreffende formules volzinnen in te vullen.

DEFINITIE 14.3. Uit de hypothesen A1, A2, ..., Am volgt propositielogisch de conclusie B, dan en slechts dan als de formule B een geldig gevolg is van de formules A1, A2, ..., Am.

Hypothesen en conclusies zijn volzinnen (meestal propositielogisch onbepaald). Hypotheseschema's en conclusieschema's zijn formules (meestal contingent, dus).

Bij elke volzin B kun je wel propositielogisch onbepaalde hypothesen A1, A2, ..., Am vinden waaruit hij volgt. Meestal zijn daar zelfs vele, zeer vele alternatieven voor. De propositielogica jaagt dus niet alleen op propositielogisch ware volzinnen maar ook op hypothesen, waaruit bepaalde conclusies volgen. Van elke B wil je graag weten uit welke series van hypothesen Ai, i = 1, 2, ...,m hij volgt.

Go to: Previous Section; Next Section