11. Geldigheid en waarheid

Bert hamminga Back to: Index: Teaching Docs hamminga, B. (1997) Informatie, Waarheid en Werkelijkheid,inhoudsopgave Go to: Previous Section; Next Section

Page title: 11. Geldigheid en waarheid

Formules zijn een bepaald soort volzinsfuncties. Ze zijn waar noch onwaar. Het zijn schema's waarvoor je volzinnen kunt invullen. Sommige volzinnen zijn waar; als volzinnen niet waar zijn, zijn ze onwaar, andere soorten volzinnen bestaan niet. Je kunt schema's maken waarin je alleen maar ware volzinnen kunt invullen. Zo'n schema heet "geldig" ("waar" mag je een schema nooit noemen).

DEFINITIE 11.1. De formule A = f (P₁, P₂, ...) is geldig dan en slechts dan als f (P₁, P₂, ...) een ware volzin wordt bij invulling van alle atomaire volzinnen die je voor P₁, P₂, .. kunt invullen. (Afkorting: l= A).

THEOREMA 11.1. Formule A is geldig dan en slechts dan als A alleen maar enen in zijn waarheidskolom heeft.

Bewijs: Indien formule A ergens een 0 in zijn waarheidskolom zou hebben, dan zou er een waarheidsgroep van onware volzinnen zijn. Dan zou zo'n formule A niet geldig zijn. En omgekeerd.

Voorbeelden van geldige schema's uitpar. 10 zijn "P V �P" en "P � Q � �P V Q".

Elke volzin "P V �P" en elke volzin "P � Q � �P V Q" is dus waar.

DEFINITIE 11.2. Een volzin A = f (P₁, P₂, ..) is propositielogisch waar dan en slechts dan als de formule f (P₁, P₂, ..) geldig is.

Propositielogisch ware volzinnen in een taal kun je dus all��n vinden als je de bedoelingen van schrijvers en sprekers goed genoeg kunt onderscheiden om te weten welke woorden dezelfde waarheidsfuncties hebben als welke logische voegtekens, en welke atomaire volzinnen identiek (dezelfde) zijn. Anders kom je er niet uit: je moet "de" formule van een volzin kunnen opschrijven. Dat valt niet altijd mee, maar meestal gaat het wel: "Het regende in Tilburg op 1-1-1990 om 15.00 uur niet" is waar. De waarheid is zelfs van een speciale soort: propositielogische waarheid. Want het is een volzin van het schema "P V �P" is geldig, dus: voor alle atomaire volzinnen P waar, en niet alleen voor "Het regende in Tilburg om 15.00 uur op 1-1-1990 of het regende in Tilburg op 1-1-1990 om 15.00 uur niet". In zekere zin is een propositielogisch ware uitspraak dus een uitspraak waar niemand iets aan heeft. Dat blijkt, getuige de geldigheid van "P � Q � �P V Q", ��k zo te zijn bij "All��n als de afzet daalt wanneer de prijzen stijgen, stijgen de prijzen niet, of de afzet daalt. Als je zo'n zin voor de radio zou horen, en je wist niets van propositielogica, dan zou je zomaar kunnen denken dat de spreker iets over onze economie zegt. Dankzij de propositielogica weet je nu dat dat niet zo is! Want welke volzinnen (ware of onware!) je ook invult voor P en Q, altijd is P � Q � �P V Q waar! Anders gezegd: de volzin is waar puur wanwege de betekenis van "Alleen als ...", "wanneer als ...", "wanneer ...", "... niet", "of ..." in het Nederlands. En dat kunnen wij met waarheidstabellen uitrekenen omdat deze propositionele voegwoorden hier precies dezelfde betekenis hebben als de betekenis die wij met de logische semantiek aan de propositielogische voegtekens hebben gegeven.

Het bovenstaande kan uitgelegd worden aan de hand van een voorbeeld. Neem de zin: Het is pompen of verzuipen (zie 9.1.). In deze zin kan de zinswending "of" niet worden ge�nterpreteerd als de waarheidsfunctie "w". Neem voor P: Het is pompen en neem voor Q: Verzuipen. Uit de onderstaande tabel blijkt dat "Het is pompen of verzuipen" de formule � (P � Q) heeft.

P	Q	� (P � Q)	Dit betekent dat:
1	1	0	het onmogelijk is dat je pompt en toch verzuipt
1	0	1	het mogelijk is dat je pompt en niet verzuipt
0	1	1	het mogelijk is dat je niet pompt en verzuipt
0	0	0	het onmogelijk is dat je niet pompt en toch niet verzuipt

Tabel 11.1.

Zulke voorbeelden in een of andere taal van een bepaalde formule noemen wij ook wel plechtig een interpretatie van die formule. De voorbeelden van zo�ven, over de regen en de prijsafzetcurve, waren niet interpretaties van zo maar een formule. Het waren interpretaties van geldige formules.

Voorbeelden van geldige formules in een taal kunnen wel over iets gaan, zoals regen, of afzet en prijzen, maar over datgene waarover ze gaan zeggen ze niets: wij leren niets over het weer of over de markt. Zij worden ook vaak in navolging van Wittgenstein tautologie�n genoemd.

Het kan ook gebeuren dat er slechts nullen in de uitgerekende waarheidskolom van een formule komen te staan. Dat is bijvoorbeeld zo bij P & �P en P � Q � � (�P V Q). Daarvoor maken we de volgende definities:

DEFINITIE 11.3. De formule A = f (P₁, P₂, ..) is inconsistent dan en slechts dan als f (P₁, P₂, ..) een onware volzin wordt bij invulling van alle atomaire volzinnen die je voor P₁, P₂, .. kunt invullen.

THEOREMA 11.2. Formule A is inconsistent dan en slechts dan als A alleen maar nullen in zijn waarheidskolom heeft.

Bewijs: Als A ergens een 1 in zijn waarheidskolom heeft zou een volzin f (P₁, P₂, ..) uit de bij die rij in de tabel behorende waarheidsgroep een 1 ingevuld kunnen worden. En omgekeerd. Zo'n volzin zou dan waar zijn en de formule zou niet inconsistent zijn.

DEFINITIE 11.4. Een volzin A = f (P₁, P₂, ..) noemen we propositielogisch onwaar dan en slechts dan als de formule f (P₁, P₂, ..) inconsistent is.

We hoeven bij een propositielogisch onware volzin dus nooit te onderzoeken tot welke waarheidsgroep hij behoort. Van te voren (a priori) weten we al dat de volzin onwaar is, zoals bij: "Het regent en het regent niet", in het Nederlands. Wie zoiets zegt heeft niet begrepen wat "en" en "niet" betekenen, of hij bedoelt er iets anders mee dan in het Nederlands gebruikelijk is, bijvoorbeeld dat een vliegtuig vonden ons enkele landingen hechtnieten verloren heeft.

Dan blijven over formules als �P, P � Q, �P V Q en �(�P V Q) uitpar. 10, die noch geldig, noch inconsistent zijn. Zulke formules noemen we contingent. Voor een contingente formule f (P₁, P₂, ..) kun je atomaire volzinnen vinden die er een ware samengestelde volzin van maken en je kunt ook automaire volzinnen vinden die er een onware samengestelde volzin van maken.

DEFINITIE 11.�. Een formule f (P₁, P₂, ..) heet contingent dan en slechts dan als hij noch geldig, noch inconsistent is.

DEFINITIE 11.6. Een volzin f (P₁, P₂, ..) heet propositielogisch onbepaald dan en slechts dan als de formule f (P₁, P₂, ...) contingent is.

De zin: "Volzin A is propositielogisch onbepaald" is niet Moeders mooiste, want strikt genomen moet je zeggen "de waarheidswaarde van volzin A is propositielogisch onbepaald". Dat is me te lang.

Wij hopen dat elke volzin ontleed kan worden in zijn atomaire volzinnen, en dat elke volzin dan precies ��n formule heeft. Als dat zo is correspondeert met de indeling van formules (schema's) in drie hoofdgroepen ook een indeling van volzinnen in vier hoofdgroepen:

Een formule is:	geldig	contingent	inconsistent
Als zijn waarheidskolom bevat	louter enen	enen en nullen	louter nullen
Andere verzamelnaam		niet geldig
Andere verzamelnaam	consistent

Formules

Een volzin is	Waar	Onwaar
propositielogisch bepaald	(1) propositielogisch waar	(2) propositielogisch onwaar
Propositielogisch onbepaald	(3) Niet-propositielogisch waar	(4) Niet-propositielogisch onwaar

Volzinnen

Go to: Previous Section; Next Section